00 · 入门
电脑怎么算数：从开关到加法器（进阶）
本篇你将学到
- 逻辑门：用开关和灯就能做“判断”
- 怎么用几个门搭出会做加法的电路
- 电脑怎么只靠加法和“挪位置”算出减、乘、除
上一篇说过，电脑里的数字就是一排开关（0 和 1）。这一篇看看，开关是怎么“算”出 5 + 6 的。干这活的，是 CPU 里叫算术逻辑单元（ALU）的部分，意思就是“专门做算术和简单判断的小车间”[4]（CPU 见 00-03 的 CPU 小节）。
逻辑门：开关和灯
想象一盏灯，前面接着开关。按不同方式接线，就得到几种最基本的“门”[5]：
| 门 | 什么时候灯亮（输出 1） | 生活里像 |
|---|---|---|
| 与（AND） | 两个开关都是 1 | 两个开关串在一根线上 |
| 或（OR） | 至少一个是 1 | 两个开关并排接 |
| 非（NOT） | 开关是 0 时 | 反着来的开关 |
| 异或（XOR） | 两个开关不一样时 | 楼梯上下两个开关控制同一盏灯 |
真正的芯片里，“开关”是几十亿个极小的晶体管，但道理就是这几种门[5]。
用门搭一个加法器
一位加一位只有四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（写 0，进 1）。仔细看：
- “这一位写几”：两个数不一样时是 1 → 正好是异或门；
- “要不要进位”：两个数都是 1 才进位 → 正好是与门。
但多位数相加时，每一位除了 A、B，还要加上右边送来的进位，一共三个数。把两个半加器接起来（先算 A+B，再加进位），两边任一边进位就向左进 1（用一个或门），就得到全加器[2][6]。
把 4 个全加器排成一排，每个的进位输出接到左边那个的进位输入，就是一个 4 位加法器。进位像接力棒一样从右往左一位一位传，所以叫“行波进位”[1][2]。电脑里的加法器原理一样，只是有 32 位、64 位那么宽，还用了更快的进位方法[2]。
自己点一点：先在“单个门”里认识四种门，再看半加器、全加器，最后在 4 位加法器里试试 5 + 3、9 + 8（会溢出），以及勾上“做减法”算 5 − 3、3 − 5。
绿色粗线 = 1（有电），灰色细线 = 0（没电）；黄灯亮 = 1。电路已简化，只为说明原理。
加减乘除
先在纸上算：满 2 进 1
二进制加法和小学的竖式加法一模一样，从最右边一位开始加，只是十进制“满 10 进 1”，二进制是满 2 进 1[1]。所以只有四种情况要记：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（写 0，向左进 1）。
比如 5 + 6（用 4 位来写）：
进位 1
5 = 0101
+ 6 = 0110
───────────
11 = 1011从右往左：1+0=1；0+1=1；1+1=10，写 0 进 1；0+0 再加进上来的 1，得 1。结果 1011 就是 8+2+1=11。
减法：加上一个“负数”
上面的加法器只会加，所以电脑不另外造减法器，而是把“减去 6”变成“加上负 6”[2]。那负数怎么写？有个很巧的办法，叫补码，做法就两步：把每一位 0 变 1、1 变 0，再加 1[2][3]。
用 4 位举例算 7 − 6：6 是 0110，翻转得 1001，再加 1 得 1010，这就是“负 6”。然后 7 + (负 6)：
0111 (7)
+ 1010 (负 6)
─────────
10001结果有 5 位，但我们只有 4 个格子，最左边多出来的 1 直接扔掉，剩下 0001，就是 1。答案对了！
在电路里，“翻转”就是让 B 的每一位过一个非门，“再加 1”就是把最右边那个全加器的进位输入设成 1——还是同一个加法器[2]。上面模拟里勾上“做减法”就能看到。
可以把它想象成汽车的里程表：4 位的表只能显示 0000 到 1111，再往上加就“转满一圈”回到 0000。在这样的表上，“往前走 10 格”和“往回退 6 格”停在同一个位置，所以加上 1010 就等于减去 6。
乘法：加法 + 挪位置
在十进制里，一个数后面添个 0 就变成 10 倍：25 → 250。二进制也一样，只不过后面添个 0（也就是整体往左挪一格）是变成 2 倍：3 是 11，往左挪一格变成 110，就是 6[1]。
乘法就是用这个办法：看乘数的每一位，是 1 就把被乘数（挪好位置后）加进来，是 0 就跳过，最后全部加起来[1]。比如 5 × 3，3 是 11：5（101）加上“往左挪一格的 5”（1010），101 + 1010 = 1111，就是 15。
除法：反复试着减
13 块糖，每人分 3 块，能分给几个人？一次拿走 3 块：13 → 10 → 7 → 4 → 1，拿了 4 次，剩 1 块。所以 13 ÷ 3 = 4 余 1——除法就是反复减，数减了几次。
数字大了一次次减太慢，所以像小学长除法那样，从左边一位一位算。二进制每位只能是 0 或 1，所以每步只问一句：够减就减掉、商写 1；不够就商写 0，再拿下一位[1]。
13 ÷ 3（1101 ÷ 11）：
| 第几步 | 拿下一位后，手里的数 | 够不够减 11（3） | 商写 | 剩下 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1（1） | 不够 | 0 | 1（1） |
| 2 | 11（3） | 够 | 1 | 0（0） |
| 3 | 0（0） | 不够 | 0 | 0（0） |
| 4 | 1（1） | 不够 | 0 | 1（1） |
每步把上一步“剩下”的数后面接上新拿下的一位。商从上往下读 0100 就是 4，剩 1，和分糖一样。除以 2 更简单：整体往右挪一格，挪出去的那位就是余数[1]。
4 个开关只能装到 15，数字大了就用下面的计算器：电路一样，只是位数多一些。试试“5 + 6”，再切换成减法试试“7 − 6”和“3 − 5”，乘法试试“5 × 3”，除法试试“13 ÷ 3”：
小结
- 逻辑门就是开关和灯：与（都亮才亮）、或（有一个就亮）、非（反着来）、异或（不一样才亮）。
- 异或 + 与 = 半加器；两个半加器 + 或 = 全加器；一排全加器 = 多位加法器。
- 减法 = 翻转再加 1，用的还是同一个加法器；乘法 = 加法 + 往左挪；除法 = 反复试着减。
- 把这些电路组合起来、再加上“选哪种运算”的开关，就是 CPU 里的 ALU[4][6]。
下一篇是术语表，把这几篇里出现的词集中整理一遍，忘了随时回来查。
参考资料
- [1]CIS 371 Computer Organization and Design · Unit 4: Arithmetic · University of Pennsylvania (Milo Martin)
https://acg.cis.upenn.edu/milom/cis371-Spring11/lectures/04_arith.pdf - [2]6.111 Lecture 8: Arithmetic Circuits & Multipliers · MIT
https://web.mit.edu/6.111/www/f2016/handouts/L08.pdf - [3]Two's Complement · Thomas Finley, Cornell University
https://www.cs.cornell.edu/~tomf/notes/cps104/twoscomp.html - [4]What is a Central Processing Unit? · Arm
https://www.arm.com/glossary/cpu - [5]Project 1: Boolean Logic · Nand2Tetris (Nisan & Schocken)
https://www.nand2tetris.org/project01 - [6]Project 2: Boolean Arithmetic · Nand2Tetris (Nisan & Schocken)
https://www.nand2tetris.org/project02